球面几何学
我们都熟悉二维的球体——一个球的表面，或一个橘子的表面，或地球的表面。但我们的宇宙是一个三维球体意味着什么呢？
很难想象一个三维球体，但是通过一个简单的类比就可以很容易地定义一个。就像二维球体是所有点的集合与普通三维空间中某个中心点的固定距离一样，三维球体是所有点的集合与四维空间中的某个中心点有着固定距离。
在三维空间里的生活和在平面空间里的生活感觉非常不同。为了感受一下，想象你是一个生活在二维球体中的二维生物。二维的球体就是整个宇宙——你无法看到或进入周围的任何三维空间。在这个球形的宇宙中，光沿着最短的可能路径传播：大圆。对你来说，这些大圆圈就像直线。
现在想象一下，你和你的二维朋友在北极闲逛，你的朋友去散步。当你的朋友走开的时候，一开始他们在你的视野里会越来越小，就像在我们平常的世界里一样(尽管他们不会像我们习惯的那样迅速缩小)。这是因为随着你的视野范围的扩大，你的朋友所占的比例越来越小：
但是一旦你的朋友越过赤道，奇怪的事情就发生了：他们离你越远，就越看起来大。这是因为他们在你的视觉范围内所占的比例在增加：
当你的朋友离南极10英尺远的时候，他们看起来和离你10英尺远的时候一样大：
当它们到达南极时，你可以从各个方向看到它们，所以它们填满了你的整个视野：
如果南极没有人，你的视野会变得更加陌生：看到你自己。那是因为从你身上发出的光会绕着球体转一圈，直到它回到你身上。
这直接延续到三维球体中的生命。三球上的每个点都有一个相对的点，如果那里有一个物体，我们会把它当作整个背景，就好像它是天空一样。如果那里什么都没有，我们就会把自己当作背景，就好像我们的外部被一个气球所覆盖，然后从里到外膨胀成整个地平线。
虽然三球体是球面几何的基本模型，但它并不是唯一的空间。就像我们从欧几里得空间中切出一大块来构建不同的平面空间并将其粘合在一起一样，我们也可以通过粘合三球体中合适的一块来构建球形空间。与环面一样，每一个粘在一起的形状都有镜面效果，但在这些球形形状中，只有有限的房间可以通过。
我们的宇宙是球形的吗？
即使是最自恋的人也不会把自己当成整个夜空的背景。但是就像平面环面一样，仅仅因为我们没有看到一个现象，并不意味着它不存在。球形宇宙的周长可能比可观测宇宙的大小还大，使得背景太远而看不见。
但与环面不同的是，球形宇宙可以通过纯粹的局部测量来探测。球面形状与无限欧几里德空间的区别不仅在于它们的全局拓扑结构，还在于它们的细粒度几何结构。例如，因为球面几何中的直线是大圆，所以三角形比欧几里得的三角形更“蓬松”，它们的角加起来超过180度：
事实上，测量宇宙三角形是宇宙学家检验宇宙是否弯曲的主要方法。对于宇宙微波背景中的每一个冷热点，它的直径和与地球的距离都是已知的，形成了一个三角形的三面。我们可以测量这个点在夜空中的角度——三角形的三个角之一。然后我们可以检查边长和角度的组合是否适合平面、球面或双曲几何(其中三角形的角度之和小于180度)。
大多数这样的测试，连同其他的曲率测量，表明宇宙要么是平坦的，要么非常接近平坦。然而，一个研究团队最近提出，普朗克空间望远镜2018年发布的某些数据指向的是一个球形宇宙，尽管其他研究人员反驳说，这一证据很可能是统计上的侥幸。
双曲几何
不像球体本身是向内弯曲的，双曲几何是向外张开的。它是由“松软的帽子”、珊瑚礁和马鞍组成的几何图形。双曲几何的基本模型是无限的空间，就像平坦的欧几里得空间。但是由于双曲几何比平面几何向外扩张的速度快得多，所以即使是二维双曲平面也无法在普通的欧几里得空间中拟合，除非我们愿意扭曲它的几何形状。例如，这里是一个被称为庞加莱圆盘的双曲平面的变形图：
从我们的角度来看，边界圆附近的三角形看起来比中心附近的小得多，但是从双曲几何的角度来看，所有的三角形大小都是一样的。如果我们试图使三角形大小相同,也许用有弹性的材料对我们的磁盘和膨胀每个三角形反过来,从中心向外工作——我们的磁盘将开始像软盘帽扣越来越向外为我们工作。当我们接近边界时，这种弯曲就会失去控制。
从双曲几何的角度来看，边界圆与任何内点的距离都是无限远的，因为你必须穿过无穷多个三角形才能到达那里。双曲平面向四面八方无限延伸，就像欧几里得平面一样。但就局部几何而言，双曲平面中的生命与我们所习惯的非常不同。
在一般的欧几里得几何中，圆的周长与半径成正比，但在双曲几何中，圆周长与半径成指数关系。我们可以看到，在双曲圆盘边界附近的大量三角形中存在指数堆积。
由于这个特性，数学家们常说在双曲空间中很容易迷失方向。如果你的朋友在普通的欧几里得空间里离你而去，他们会开始看起来更小，但很慢，因为你的视觉圈并没有增长得那么快。但在双曲空间中，你的视觉圈呈指数级增长，所以你的朋友很快就会缩小成指数级的小点。如果你没有仔细地跟踪你朋友的路线，以后几乎不可能找到他们。
在双曲几何中，三角形的内角和小于180度，例如，在我们的庞加莱圆盘的平铺中，三角形的内角和为165度：
这些三角形的边看起来不直，但那是因为我们通过一个扭曲的镜头来观察双曲几何。对于居住在庞加莱圆盘上的人来说，这些曲线就是直线，因为从A点到B点最快的方式是走一条通向中心的捷径：
有一种很自然的方法可以制作一个三维的庞加莱圆盘模型——简单地制作一个三维球体，然后用三维形状填充它，当它们接近边界球体时，就会变小，就像庞加莱圆盘上的三角形一样。就像平面几何和球面几何一样，我们可以通过切割三维双曲球的合适部分并将其表面粘合在一起，从而得到其他三维双曲空间的组合。
我们的宇宙是双曲线吗？
双曲几何，以其狭窄的三角形和指数增长的圆圈，似乎不适合我们周围空间的几何形状。事实上，正如我们已经看到的，到目前为止，大多数宇宙测量似乎都倾向于平坦的宇宙。
但我们不能排除我们生活在一个球形或双曲线世界的可能性，因为这两个世界的小块看起来几乎是平坦的。例如，在球面几何中，小三角形的内角和仅略大于180度，而在双曲几何中，小三角形的内角和仅略小于180度。
这就是为什么早期的人们认为地球是平的——在他们能够观察到的尺度上，地球的曲率太小而无法探测到。球形或双曲线形状越大，每个小块平坦的，所以如果我们的宇宙是一个非常大的球形或双曲线形状，我们可以观察到的部分可能是如此接近平面，以至于其曲率只能通过我们尚未发明的超精密仪器检测。
