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“容器中的数学问题”是六年级数学课程中的一个重要主题，通过这个主题，学生们将探索容器的容积、表面积以及其它相关数学问题。在这个单元中，学生们将学会如何通过具体的容器形状和尺寸来理解数学概念，如立方体、长方体和圆柱体等。他们将通过观察容器的实际运用情况，探究容器内外的关系，以及在不同条件下容器的容积和表面积的计算方法。通过在课堂上的互动学习和实际探索，学生们将不仅仅掌握数学概念，还能培养观察问题、提出问题和解决问题的能力。这个主题将为学生提供一个更具体、更直观的数学学习体验，激发他们对数学的兴趣和学习动力。
美妙数学天天见，每天进步一点点。亲爱的同学，你好，我是朱乐平名师工作室的王华栋老师。昨天我们用转化的方法研“瓶子的容积”。今天我们与大家分享的是“容器中的数学问题”。
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提出问题
一个高为10cm的圆柱形玻璃容器中盛有水，水面高5cm，玻璃容器内侧的底面积是40cm2，在这个容器中放入棱长为2cm的正方体铁块后，铁块被完全浸没在水中。这时容器中的水面高度上升了多少厘米？
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解决问题
我觉得可以先算出放入小铁块后玻璃容器内水和铁块的总体积，40×5＋2×2×2＝208（立方厘米）。再利用总体积和底面积求出现在的水面高度：208÷40＝5.2（cm），最后减去原来的高度5cm，所以水面上升了5.2－5＝0.2（厘米）。
你分析得很对，但我有更简便的方法！天天，你知道为什么容器内水面会上升吗？
因为有小铁块放进去了呀！
是的，所以说上升部分水的体积其实就是由小铁块的体积转化而来的。这部分的体积等于2×2×2＝8（cm3）。再根据这部分的体积和这部分的底面积，可以求出这部分的高是8÷40＝0.2（cm），也就是说水面上升了0.2cm。
美美，你利用等积转化的方法，将铁块体积灵活转化成了圆柱形水的体积，从而轻松地解决了问题，真是太棒啦！
如果用方程来解，就更能把转化的过程表达出来了。解：设水面上升了xcm。方程左边表示圆柱形水的体积：40x。方程右边是转化前正方体铁块的体积：2×2×2。两者的体积是相等的。解得x＝0.2。
这道题难不住你们，我们再来挑战吧！
3
变式问题
一个圆柱形玻璃容器内盛有水，水面高2.5cm，玻璃容器内侧的底面积是96平方厘米。在这个玻璃容器内放进棱长6cm的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高度上升了多少厘米？
4
解决问题
这两道题有点相似，都是把一个正方体铁块放进盛有水的容器中。
但它们又是有区别的，第1题正方体铁块被完全浸没在水中，而第2题的铁块却没有被浸没，它有一部分是露在水面外的。看来这一题铁块的体积不能完全转化成水的体积。怎么办呢？
天天，我发现这道题中水的体积没有发生变化，只是形状变了。铁块放入前，玻璃容器中的水是圆柱形的，它的体积是96×2.5＝240（立方厘米）。铁块放入后，水的体积还是240立方厘米，只是它的形状转化成了中空的柱体。如果把这个特殊柱体的水想象成像冰棍一样可以提起来的固体，那么它的底面积面积为96－6×6＝60（平方厘米）。在前面的学习中，我们知道柱体的体积＝底面积×高。所以现在这个中空柱体的高，可以用体积÷底面积来求得，也就是240÷60＝4（cm）。与一开始的水面高度2.5cm相比，水面上升了4－2.5＝1.5（厘米）。
看来把谁进行转化也是有窍门的，要根据实际问题灵活思考。
审核人：沈佩峰
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